Question

如图，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E．

（1）求证：AC平分∠DAB；

（2）若BE=2，CE=2，CF⊥AB，垂足为点F．

①求⊙O的半径；②求CF的长．

Answer

(1)见解析；（2）⊙O的半径为2，CF＝

【解析】

(1)连结OC，根据切线的性质得OC⊥CD，而AD⊥CD，根据平行线的性质得OC∥AD，所以∠2=∠3，加上∠1=∠3，则∠1=∠2，所以AC平分∠DAB；

(2)设半径为r,在Rt△OCE中，OC=r,OE=r+2,CE=2,根据勾股定理可求出r；利用Rt△OCE面积计算OC×CE=OE×CF，可求出CF.

（1）证明：连结OC，如图，

∵直线CE与⊙O相切于点C，∴OC⊥CD，

∵AD⊥CD， ∴OC∥AD， ∴∠1=∠3，

∵OA=OC， ∴∠2=∠3， ∴∠1=∠2，

∴AC平分∠DAB；

（2）【解析】
①设⊙O的半径为r，则OC=r，OE=2+r，

在Rt△OCE中，由勾股定理得：，

r=2，

则⊙O的半径为2；

②∵OC⊥CE，CF⊥AB，

∴OC×CE=OE×CF，∴2×=4×CF

∴CF=.