Question

如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，过C作CE⊥AD垂足为E，且∠EDC=∠BDC.

（1）求证:CE是⊙O的切线；

（2）若DE+CE=4，AB=6，求BD的值．

Answer

（1）详见解析；（2）BD=10.

【解析】试题（1）根据已知条件易证∠OCE=90°，即可判定CE是⊙O的切线；（2）如图，过点O作OF⊥AE，垂足为F，即可得四边形OFEC为矩形，先求得OF的长，即可得CE的长，在Rt△EDC中，根据勾股定理可求得CD的长，再判定△EDC∽△CDB，根据相似三角形的性质即可求得BD的长.

试题解析：

（1）∵OC=OD，

∴∠ODC=∠OCD；

∵CE⊥AD，

∴∠ECD+∠CDE=90°，

∵∠EDC=∠BDC，

∴∠ECD+∠OCD=90°，

∴∠OCE=90°，

∴CE是⊙O的切线；

（2）如图，过点O作OF⊥AE，垂足为F，即可得四边形OFEC为矩形，

∵∠BAD=90°，

∴BD为直径，

∴∠BCD=90°，

∵OF⊥AE，

∴AF=DF，

∵OB=OD，AB=6，

∴OF=3.

∵四边形OFEC为矩形，

∴EC=OF=3，

∵DE+CE=4，

∴ED=1.

在Rt△EDC中，根据勾股定理可求得CD=，

∵∠DEC=∠BCD=90°，∠EDC=∠BDC

∴△EDC∽△CDB，

∴，

∴，

解得BD=10.