Question

如图1，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处．再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处．如图2．

（1）求证：EG=CH；

（2）已知AF=，求AD和AB的长．

Answer

（1）见解析（2）AD=+2；AB= 2+2．

【解析】

试题（1）由折叠的性质及矩形的性质可知AE=AD=EG，BC=CH，再根据四边形ABCD是矩形，可得AD=BC，等量代换即可证明EG=CH；

（2）由折叠的性质可知∠ADE=45°，∠FGE=∠A=90°，AF=，那么DG=，利用勾股定理求出DF=2，于是可得AD=AF+DF=+2；再利用AAS证明△AEF≌△BCE，得到AF=BE，于是AB=AE+BE=+2+=2+2．

试题解析：（1）证明：由折叠知AE=AD=EG，BC=CH，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC，

∴EG=CH；

（2）【解析】
∵∠ADE=45°，∠FGE=∠A=90°，AF=，

∴DG=，DF=2，

∴AD=AF+DF=+2；

由折叠知∠AEF=∠GEF，∠BEC=∠HEC，

∴∠GEF+∠HEC=90°，∠AEF+∠BEC=90°，

∵∠AEF+∠AFE=90°，

∴∠BEC=∠AFE，

在△AEF与△BCE中，

，

∴△AEF≌△BCE（AAS），

∴AF=BE，

∴AB=AE+BE=+2+=2+2．