Question

已知：如图，∠MON＝40°，OE平分∠MON，A，B，C分别是射线OM，OE，ON上的动点(A，B，C不与点O 重合)，连接AC交射线OE于点D.设∠OAC＝x°.

(1)如图①，若AB∥ON，则

①∠ABO的度数是________．

②当∠BAD＝∠ABD时，x＝________；当∠BAD＝∠BDA时，x＝________.

(2)如图②，若AB⊥OM，则是否存在这样的x值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）①20°，②120°，③60°；（2）存在，x＝50、20、35或125

【解析】

试题（1）①运用平行线的性质以及角平分线的定义，可得①∠ABO的度数；②根据∠ABO、∠BAD的度数以及△AOB的内角和，可得x的值；（2）分两种情况进行讨论：AC在AB左侧，AC在AB右侧，分别根据三角形内角和定理以及直角的度数，可得x的值．

试题解析：如图1,①∵∠MON=36°，OE平分∠MON，

∴∠AOB=∠BON=18∘，

∵AB∥ON，

∴∠ABO=18∘；

②当∠BAD=∠ABD时,∠BAD=18°，

∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°，

∴∠OAC=180°−18°×3=126°；

当∠BAD=∠BDA时,∵∠ABO=18°，

∴∠BAD=81°,∠AOB=18°，

∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°，

∴∠OAC=180°−18°−18°−81°=63°，

故答案为：①18°；②126，63；

(2)如图2，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角。

∵AB⊥OM,∠MON=36∘，OE平分∠MON，

∴∠AOB=18°,∠ABO=72°，

①当AC在AB左侧时：

若∠BAD=∠ABD=72°,则∠OAC=90°−72°=18°；          

若∠BAD=∠BDA=180°−72°2=54°,则∠OAC=90°−54°=36°；            

若∠ADB=∠ABD=72°,则∠BAD=36°,故∠OAC=90°−36°=54°；

②当AC在AB右侧时：

∵∠ABE=108°,且三角形的内角和为180°，

∴只有∠BAD=∠BDA=180°−108°2=36°,则∠OAC=90°+36°=126°.   

综上所述，当x=18、36、54、126时，△ADB中有两个相等的角。