Question

如图，已知抛物线y＝x²＋bx＋c与x轴交于点A，B，AB＝2，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）根据图像，直接写出不等式x²＋bx＋c＞0的解集：    ．

（3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为：    ．

Answer

（1）y＝x2－4x＋3；（2）x＜1或x＞3；（3）（2，－1）

【解析】

（1）根据抛物线对称轴的定义易求A（1，0），B（3，0）．代入抛物线的解析式列方程组，解出即可求b、c的值；
（2）由图象得：即y＞0时，x＜1或x＞3；
（3）如图，点D是抛物线的顶点，所以根据抛物线解析式利用顶点坐标公式即可求得点D的坐标．

（1）如图，∵AB＝2，对称轴为直线x＝2．

∴点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（3，0）．

把A、B两点的坐标代入得：，解得：，

∴抛物线的函数表达式为y＝x2－4x＋3；．

（2）由图象得：不等式x2＋bx＋c＞0，即y＞0时，x＜1或x＞3；

故答案为：x＜1或x＞3；

（3）（2，－1）．

y=x2-4x+3=（x-2）2-1，
∴顶点坐标为（2，-1），
当E、D点在x轴的上方，即DE∥AB，AE=AB=BD=DE=2，此时不合题意，

如图，根据“菱形ADBE的对角线互相垂直平分，抛物线的对称性”得到点D是抛物线y=x2-4x+3的顶点坐标，即（2，-1），
故答案是：（2，-1）．