Question

如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB＝∠DCE．

（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）若AB＝2，BC＝4，求⊙O的半径．

Answer

（1）直线CE与⊙O相切，理由见解析；（2）⊙O的半径是

【解析】

（1）首先连接OE，由OE=OA与四边形ABCD是矩形，易求得∠DEC+∠OEA=90°，即OE⊥EC，即可证得直线CE与⊙O的位置关系是相切；
（2）首先易证得△CDE∽△CBA，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得DE的长，又由勾股定理即可求得AC的长，设⊙O的半径为R，在Rt△COE中，CO2＝CE2+OE2，即可得方程（2－R）2＝R2+（）2，解此方程即可求得⊙O的半径．

（1）直线CE与⊙O相切.

证明：连接OE，

∵OA＝OE，

∴∠DAC＝∠AEO，

∵∠ACB＝∠DCE，

∴∠AEO＝∠ACB＝∠DCE，

∵四边形ABCD是矩形，

∴BC∥AD，

∴∠ACB＝∠DAC，

∵∠ACB＝∠DCE，

∴∠DAC＝∠DCE，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D＝90°，

∴∠DCE+∠DEC＝90°，

∴∠AEO+∠DEC＝90°，

∴∠OEC＝180°－90°＝90°，

即OE⊥EC，

∵OE为半径，

∴直线CE与⊙O相切；

（2）【解析】
∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠D＝90°，

在Rt△ACB中，AB＝BC×tan∠ACB＝4×＝2，

由勾股定理得：AC＝＝2，

∵∠ACB＝∠DCE，

∴tan∠DCE＝tan∠ACB＝，

在Rt△DCE中，CD＝AB＝2，

DE＝DC×tan∠DCE＝2×＝1，

由勾股定理得：CE＝＝，

设⊙O的半径为R，

在Rt△COE中，CO2＝CE2+OE2，

（2－R）2＝（）2+ R2，

解得：R＝，

即⊙O的半径是．