Question

如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，DE＝4cm，线段DE（端点D从点B开始）沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当端点E到达点C时停止运动，过点E作EF∥AC交AB于点F，连接DF，设运动的时间为t秒（t≥0）．

（1）用含t的代数式表示线段EF的长度为    ；

（2）在运动过程中，△DEF能否为等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能，试说明理由；

（3）若点M是线段EF的中点，请直接写出在整个运动过程中点M运动路线的长．

Answer

（1）EF＝（t+4）（cm）；（2）当t＝0、或秒时，△DEF为等腰三角形；（3）线段EF的中点M运动路线的长为 m

【解析】

（1）因为平行，则EF：CA＝BE：BC，且BE，AC，BC边易知，则EF可表示．
（2）运动过程中使△DEF为等腰三角形，则要考虑哪两边为腰，故要考虑三种情况，当DF=EF时，当DE=EF时，当DE=EF时．分别讨论易根据三角形相似、边成比例及（1）中EF的值得到关于t的方程，解得即可．
（3）求运动轨迹，首先要明白M点运动的轨迹到底是什么情况，画图易猜想，此轨迹为MN．而因为运动中的EF都与AC平行，故利用边成比例可得AN=CN，故运动过程中M点都在AC边的中线上．因为三角形各边已知且固定，根据勾股定理，相似等易得BN、BM，则MN可求．

（1）∵BD＝tcm，DE＝4cm，

∴BE＝BD+DE＝（t+4）cm，

∵EF∥AC，

∴△BEF∽△BCA，

∴EF：CA＝BE：BC，

即EF：10＝（t+4）：16，

解得：EF＝（t+4）（cm）；．

（2）分三种情况讨论：

①∵当DF＝EF时，

∴∠EDF＝∠DEF，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵EF∥AC，

∴∠DEF＝∠C，

∴∠EDF＝∠B，

∴点B与点D重合，

∴t＝0；

②，当DE＝EF时，

则4＝（t+4），

解得：t＝；

③∵当DE＝DF时，有∠DFE＝∠DEF＝∠B＝∠C，

∴△DEF∽△ABC．

∴＝，

即＝，

解得：t＝；

综上所述，当t＝0、或秒时，△DEF为等腰三角形．

（3）线段EF的中点M运动路线的长为 m．

分析如下：

如图1，当t=0秒时，B、D重合，连接BM并延长，交AC于N，过点A作，AP⊥BC于P，过点N作NQ⊥BC于Q．
∵EF∥AC，
∴ ，
∵FM=ME，
∴AN=NC，
∴MN就是点M运动路线．
在Rt△APC中，
∵PC=•BC=8cm，AC=10cm，
∴AP=6cm．
∵NQ∥AP，
∴CQ=•PC=4cm．
在Rt△BNQ中，
∵NQ=•AP=3cm，BQ=BC-CQ=16-4=12cm，
∴BN=3cm．
∵＝，
∴＝，
解得 BM=cm，
∴MN=BN-BM=cm．