Question

（2016吉林省）（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以点B为中心，把△ABC逆时针旋转90°，得到△A₁BC₁；再以点C为中心，把△ABC顺时针旋转90°，得到△A₂B₁C，连接C₁B₁，则C₁B₁与BC的位置关系为        ；

（2）如图2，当△ABC是锐角三角形，∠ABC=α（α≠60°）时，将△ABC按照（1）中的方式旋转α，连接C₁B₁，探究C₁B₁与BC的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；

（3）如图3，在图2的基础上，连接B₁B，若C₁B₁=BC，△C₁BB₁的面积为4，则△B₁BC的面积为      ．

Answer

（1）平行；（2）平行；（3）6．

【解析】试题（1）由旋转的性质可得∠C1BC=∠B1BC=90°，BC1=BC=CB1，根据平行线的判定方法可得BC1∥CB1，根据平行线的判定即可判定四边形BCB1C1是平行四边形，由平行四边形的性质即可得到结论；（2）C1B1∥BC，过C1作C1E∥B1C，交BC于E，由平行线的性质可得∠C1EB=∠B1CB，再由旋转的性质可得BC1=BC=B1C，∠C1BC=∠B1CB，即可得∠C1BC=∠C1EB，由等腰三角形的性质可得C1B=C1E，所以C1E=B1C，即可判定四边形C1ECB1是平行四边形，由平行四边形的性质即可得到结论；（3）已知C1B1∥BC，可得C1B1与BC 之间的距离相等，设这个距离为h，则△C1BB1的面积为 C1B1×h，△B1BC的面积为 CB×h，又因C1B1= BC，△C1BB1的面积为4，即可得△B1BC的面积为10.

试题解析：

（1）平行.

（2）C1B1∥BC；

证明：过C1作C1E∥B1C，交BC于E，则∠C1EB=∠B1CB，

由旋转的性质知，BC1=BC=B1C，∠C1BC=∠B1CB，

∴∠C1BC=∠C1EB，

∴C1B=C1E，

∴C1E=B1C，

∴四边形C1ECB1是平行四边形，

∴C1B1∥BC；

（3）答案为：10．