Question

如图，抛物线与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，且x₁＜x₂与y轴交于点C（0，4），其中x₁，x₂是方程x²﹣4x﹣12=0的两个根．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M是线段AB上的一个动点，过点M作MN∥BC，交AC于点N，连结CM，当△CMN的面积最大时，求点M的坐标；

（3）点D（4，k）在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣4；（2）点M的坐标为（2，0）；（3）F1（﹣6，0），F2（2，0），F3（8﹣2，0），F4（8+2，0）．

【解析】试题（1）根据一元二次方程解法得出A，B两点的坐标，再利用交点式求出二次函数解析式；
（2）首先判定△MNA∽△BCA．得出，进而得出函数的最值；
（3）分别根据当AF为平行四边形的边时，AF平行且等于DE与当AF为平行四边形的对角线时，分析得出符合要求的答案．

试题解析：（1）∵x2﹣4x﹣12=0，

∴x1=﹣2，x2=6．

∴A（﹣2，0），B（6，0），

又∵抛物线过点A、B、C，故设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣6），

将点C的坐标代入，求得a=，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣4；

（2）设点M的坐标为（m，0），过点N作NH⊥x轴于点H（如图（1））．

∵点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（6，0），

∴AB=8，AM=m+2，

∵MN∥BC，

∴△MNA∽△BCA．

∴=，

∴=，

∴NH=，

∴S△CMN=S△ACM﹣S△AMN=•AM•CO﹣AM•NH，

=（m+2）（4﹣）=﹣m2+m+3，

=﹣（m﹣2）2+4．

∴当m=2时，S△CMN有最大值4．

此时，点M的坐标为（2，0）；

（3）∵点D（4，k）在抛物线y=x2﹣x﹣4上，

∴当x=4时，k=﹣4，

∴点D的坐标是（4，﹣4）．

①如图（2），当AF为平行四边形的边时，AF平行且等于DE，

∵D（4，﹣4），

∴DE=4．

∴F1（﹣6，0），F2（2，0），

②如图（3），当AF为平行四边形的对角线时，设F（n，0），

∵点A的坐标为（﹣2，0），

则平行四边形的对称中心的横坐标为：，

∴平行四边形的对称中心坐标为（，0），

∵D（4，﹣4），

∴E'的横坐标为：﹣4+=n﹣6，

E'的纵坐标为：4，

∴E'的坐标为（n﹣6，4）．

把E'（n﹣6，4）代入y=x2﹣x﹣4，得n2﹣16n+36=0．

解得n=8±2．F3（8﹣2，0），F4（8+2，0），

综上所述F1（﹣6，0），F2（2，0），F3（8﹣2，0），F4（8+2，0）．