Question

（定义）如图1，A，B为直线l同侧的两点，过点A作直线l的对称点，连接B交直线l于点P，连接AP，则称点P为点A，B关于直线的“等角点”．

（运用）如图2，在平面直坐标系xOy中，已知A(2,)，B(-2,-)两点．

（1）C(4,)，D(4,)，E(4,)三点中，点　　是点A，B关于直线x=4的等角点；

（2）若直线l垂直于x轴，点P(m,n)是点A，B关于直线l的等角点，其中m>2，∠APB=α，求证：；

（3）若点P是点A，B关于直线y=ax+b(a≠0)的等角点，且点P位于直线AB的右下方，当∠APB=60°时，求b的取值范围（直接写出结果）．

Answer

（1）C；（2）证明见解析；（3）见解析.

【解析】

（1）根据“等角点”的定义找到A关于x＝4的对称点A＇，连接A＇B，求得与x＝4的交点即可；

（2）根据“等角点”的定义和三角函数的知识，再利用△APG∽△BPH，即可得到；

（3）构造辅助圆⊙O解题，当直线y＝ax＋b与⊙O相交的另一个交点为Q时，利用圆周角定理以及对称性可证明△ABQ为等边三角形，从而确定Q为定点．再过A，Q分别作y轴的垂线，构造相似三角形（Rt△AMO∽Rt△ONQ），利用相似三角形对应边成比例即可求出Q的坐标，再利用待定系数法求出BQ和AQ的解析式，由此即可确定b的取值范围．

【解析】
（1）点关于直线的对称点为

直线解析式为：

当时，

故答案为：

（2）如图，过点作直线的对称点，连，交直线于点

作于点

点和关于直线对称

，即

，即

，

在中，

（3）如图，当点位于直线的右下方，时，

点在以为弦，所对圆周为，且圆心在下方

若直线与圆相交，设圆与直线的另一个交点为

由对称性可知：，

又

，

是等边三角形

线段为定线段

点为定点

若直线与圆相切，易得、重合

直线过定点

连，过点、分别作轴，轴，垂足分别为、

，

是等边三角形

，

又，

，，点坐标为

设直线解析式为

将、坐标代入得

解得

直线的解析式为：.

设直线的解析式为：,

将、两点代入，

解得.

直线的解析式为：.

若点与点重合，则直线与直线重合，此时，.

若点与点重合，则直线与直线重合，此时，.

又，且点位于右下方，

且或.