Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点F，过点D作⊙O的切线交AC于E．

（1）求证：AD²=AB•AE；

（2）若AD=2，AF=3，求⊙O的半径．

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）欲证明AD2=AB•AE，即证明AD2=AC•AE，只要证明△ADE∽△ACD即可．

（2）易知OD=AC，只要求出AC，先证明EF=EC，设EF=EC=x，根据DE2=EF•EA=AD2-AE2，列出方程即可解决问题．

（1）如图，连接OD，DF．

∵AB是直径，

∴∠ADB=90°，

∴AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴BD=DC，

∵AO=OB，

∴OD∥AC，DO=AC，

∵DE是切线，

∴OD⊥DE，∵OD∥AC，

∴DE⊥AC，

∴∠AED=90°，

∵∠DAE=∠DAC，∠AED=∠ADC=90°，

∴△ADE∽△ACD，

∴，

∴AD2=AE•AC=AB•AE．

（2）∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵∠DFC=∠B，

∴∠C=∠DFC，

∴DF=DC，∵DE⊥CF，

∴EF=EC，设FE=EC=x，

∵DE是切线

∴DE2=EF•EA=AD2-AE2，

∴x（x+3）=（2）2-（x+3）2，

∴x=，

∴AC=AF+FC=3+=，

由（1）可知OD=AC=，

∴⊙O的半径为．