Question

如图，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC＝CP＝4，弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连接PB．

（1）求BC的长；

（2）求证：PB是⊙O的切线．

Answer

（1）4；（2）详见解析

【解析】

（1）首先连接OB，由弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，易证得△OBC是等边三角形，则可求得BC的长；

（2）由OC＝CP＝4，△OBC是等边三角形，可求得BC＝CP，即可得∠P＝∠CBP，又由等边三角形的性质，∠OBC＝60°，∠CBP ＝30°，则可证得OB⊥BP，继而证得PB是⊙O的切线．

（1）连接OB，

∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，

∴弧BC与弧AC的度数为：60°，

∴∠BOC＝60°，

∵OB＝OC，

∴△OBC是等边三角形，

∴BC＝OC＝4；

（2）证明：∵OC＝CP，BC＝OC，

∴BC＝CP，

∴∠CBP＝∠CPB，

∵△OBC是等边三角形，

∴∠OBC＝∠OCB＝60°，

∴∠CBP＝30°，

∴∠OBP＝∠CBP+∠OBC＝90°，

∴OB⊥BP，

∵点B在⊙O上，

∴PB是⊙O的切线．