Question

如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，AD、BC的延长线交于点F，点E在CF上，且∠DEC=∠BAC．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）当AB=AC时，若CE=2，EF=3，求⊙O的半径．

Answer

（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD⊥DE，即可得出结论；

（2）根据余角的性质和等腰三角形的性质得到∠F=∠EDF，根据等腰三角形的判定得到DE=EF=3，根据勾股定理得到CD，证明△CDE∽△DBE，根据相似三角形的性质即可得到结论．

（1）如图，连接BD．

∵∠BAD=90°，∴点O必在BD上，即：BD是直径，∴∠BCD=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°．

∵∠DEC=∠BAC，∴∠BAC+∠CDE=90°．

∵∠BAC=∠BDC，∴∠BDC+∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE．

∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；

（2）∵∠BAF=∠BDE=90°，∴∠F+∠ABC=∠FDE+∠ADB=90°．

∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．

∵∠ADB=∠ACB，∴∠F=∠FDE，∴DE=EF=3．

∵CE=2，∠BCD=90°，∴∠DCE=90°，∴CD．

∵∠BDE=90°，CD⊥BE，∴∠DCE=∠BDE=90°．

∵∠DEC=∠BED，∴△CDE∽△DBE，∴，∴BD，∴⊙O的半径．