Question

如图，等边△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，E为AD上一点，以BE为一边且在BE下方作等边△BEF，连接CF.

(1)求证：AE＝CF；

(2)求∠ACF的度数．

Answer

（1）证明见解析；（2）∠ACF＝90°.

【解析】

（1）根据△ABC是等边三角形，得出AB=BC，∠ABE+∠EBC=60°，再根据△BEF是等边三角形，得出EB=BF，∠CBF+∠EBC=60°，从而求出∠ABE=∠CBF，最后根据SAS证出△ABE≌△CBF，即可得出AE=CF；

（2）根据△ABC是等边三角形，AD是∠BAC的角平分线，得出∠BAE=30°，∠ACB=60°，再根据△ABE≌△CBF，得出∠BCF=∠BAE=30°，从而求出∠ACF的度数．

(1)证明：∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC，∠ABE＋∠EBC＝60 °.

∵△BEF是等边三角形，

∴EB＝BF，∠CBF＋∠EBC＝60 °.

∴∠ABE＝∠CBF.

在△ABE和△CBF中， ，

∴△ABE≌△CBF(SAS)．

∴AE＝CF；

(2)∵等边△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，

∴∠BAE＝∠BAC=30 °，∠ACB＝60°.

∵△ABE≌△CBF，

∴∠BCF＝∠BAE＝30 °.

∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝30 °＋60 °＝90 °.