Question

如图，矩形ABCD中，点E在AD边上，过点E作AB的平行线，交BC于点F，将矩形ABFE绕着点E逆时针旋转，使点F的对应点落在边CD上，点B的对应点N落在边BC上．

（1）求证：BF=NF；

（2）已知AB=2，AE=1，求EG的长；

（3）已知∠MEF=30°，求的值．

Answer

（1）详见解析；（2）EG=；（3）．

【解析】

（1）连结BE，EN，根据旋转的性质可知BE=EN，由∠EFB=90°，根据等腰三角形底边的高是底边中线即可证明BF=NF.（2）根据旋转的性质可证明△NGF≌△HGE，进而证明FG=GH，根据勾股定理求出GE的长即可.（3）根据EF//CD可知∠MEF=DME=30°，由旋转性质可知∠EMN=90°，进而可知∠CNM=30°，设DE=x，则ME=2x，MD=x，进而可求出CM的长，即可求出MN的长，根据BC=DE+MN即可求出BC的长，进而求出答案.

（1）连结BE，EN，如图，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BFE=90°，

由旋转得BE=EN，

∴BF=NF；

（2）∵四边形ABCD是矩形，

∴BF=AE，EF=AB，

由旋转得EH=EA，

∵BF=NF，

∴EH=NF，

∵∠BFE=∠GHE=90°，∠NGF=∠HGE，

∴△NGF≌△HGE，

∴FG=GH，

设GE=x，则GF=GH=2﹣x，

由勾股定理得x2﹣（2﹣x）2=1，

解得x=，

∴EG=；

（3）∵EF∥DC，

∴∠DME=∠MEF=30°，

设DE=x，

∵∠D=90°，

∴ME=DC=AB=2x，DM=x，

∴MC=（2﹣）x，

∵∠NME=90°，∠DME=30°，

∴∠NMC=60°，

∴∠MNC=30°，

∴MN=2MC=2（2﹣）x，

∴BC=AD=DM+MN=2（2﹣）x+x=（5﹣2）x，

∴=．