Question

如图，在△ABC中，AC＝CB，O是AB的中点，CA与⊙O相切于点E，CO交⊙O于点D

（1）求证：CB是⊙O的切线；

（2）若∠ACB＝80°，点P是⊙O上一个动点（不与D，E两点重合），求∠DPE的度数．

Answer

（1）详见解析；（2）∠DPE的度数为25°或155°．

【解析】

（1）经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，据此进行判断．
（2）依据∠ACB=80°，OC平分∠ACB，可得∠ACO=40°，∠DOE=90°-40°=50°，分两种情况：当点P在优弧弧DPE上时，∠DPE=∠DOE=25°；当点P在劣弧弧DE上时，∠DPE=180°-25°=155°．

【解析】
（1）如图1所示，连接OE，过O作OF⊥BC于F，

∵CA与⊙O相切于点E，

∴OE⊥AC，

∵△ABC中，AC＝CB，O是AB的中点，

∴OC平分∠ACB，

∴OE＝OF，

又∵OE是⊙O的半径，

∴CB是⊙O的切线；

（2）如图2，∵∠ACB＝80°，OC平分∠ACB，

∴∠ACO＝40°，

又∵OE⊥AC，

∴∠DOE＝90°﹣40°＝50°，

当点P在优弧 上时，∠DPE＝∠DOE＝25°；

当点P在劣弧上时，∠DPE＝180°﹣25°＝155°．

∴∠DPE的度数为25°或155°．