Question

已知x≠1，计算：

(1－x)(1＋x)＝1－x²，

(1－x)(1＋x＋x²)＝1－x³，

(1－x)(1＋x＋x²＋x³)＝1－x⁴.

(1)观察以上各式并猜想：(1－x)(1＋x＋x²＋…＋xⁿ)＝________(n为正整数)．

(2)根据你的猜想计算：

①(1－2)×(1＋2＋2²＋2³＋2⁴＋2⁵)＝________；

②2＋2²＋2³＋…＋2ⁿ＝________(n为正整数)；

③(x－1)(x⁹⁹＋x⁹⁸＋x⁹⁷＋…＋x²＋x＋1)＝________．

(3)通过以上规律请你进行下面的探索：

①(a－b)(a＋b)＝________；

②(a－b)(a²＋ab＋b²)＝________；

③(a－b)(a³＋a²b＋ab²＋b³)＝________．

Answer

(1)①－63；②2n＋1－2；③x100－1.(2)①a2－b2；②a3－b3；③a4－b4

【解析】

试题（1）根据题意易得（1-x）（1+x+x2+…+xn）=1-xn+1；

利用猜想的结论得到①（1-2）（1+2+22+23+24+25）=1-26=1-64=-63；

②先变形2+22+23+24+…+2n=2（1+2+22+23+24+…+2n-1）=-2（1-2）（1+2+22+23+24+…+2n-1），然后利用上述结论写出结果；

③先变形得到（x-1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）=-（1-x）（1+x+x2+…+x99），然后利用上述结论写出结果；

（2）根据规律易得①（a-b）（a+b）=a2-b2；②（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3；③（a-b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4-b4．

试题解析：（1）由题意知(1−x)(1+x+x2+…+xn)=1−xn+1；

所以①(1−2)(1+2+22+23+24+25)=1−26=1−64=−63；

②2+22+23+24+…+2n=2(1+2+22+23+24+…+2n−1)=−2(1−2)(1+2+22+23+24+…+2n−1)=−2(1−2n)=2n+1−2；

③(x−1)(x99+x98+x97+…+x2+x+1)=−(1−x)(1+x+x2+…+x99)=−(1−x100)=x100−1，

(3)①(a−b)(a+b)=a2−b2；

②(a−b)(a2+ab+b2)=a3−b3；

③(a−b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4−b4.

故答案为：(1)①－63；②2n＋1－2；③x100－1.(2)①a2－b2；②a3－b3；③a4－b4