Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，以AC边上一点O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F.

(1)求证：BD是⊙O的切线；

(2)若AB＝，E是半圆上一动点，连接AE，AD，DE.填空：

①当的长度是____时，四边形ABDE是菱形；

②当的长度是_____时，△ADE是直角三角形.

Answer

（1）见解析；（2）① ；②或π．

【解析】

（1）首先连接OD，由在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，⊙O恰好经过边BC的中点D，易得AB=BD，继而证得∠ODB=∠BAC=90°，即可证得结论；

（2）①易得当DE⊥AC时，四边形ABDE是菱形，然后求得∠AOE的度数，半径OD的长，则可求得答案；

②分别从∠ADE=90°，∠DAE=90°，∠AED=90°去分析求解即可求得答案．

（1）证明：如图1，连接OD，

∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，

∴AB=BC，

∵D是BC的中点，

∴BD=BC，

∴AB=BD，

∴∠BAD=∠BDA，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠ODB=∠BAO=90°，

即OD⊥BC，

∴BD是⊙O的切线．

（2）①当DE⊥AC时，四边形ABDE是菱形；

如图2，设DE交AC于点M，连接OE，则DE=2DM，

∵∠C=30°，

∴CD=2DM，∴DE=CD=AB=BC，

∵∠BAC=90°，

∴DE∥AB，

∴四边形ABDE是平行四边形，

∵AB=BD，

∴四边形ABDE是菱形；

∵AD=BD=AB=CD=BC=，

∴△ABD是等边三角形，OD=CD•tan30°=1，

∴∠ADB=60°，

∵∠CDE=90°﹣∠C=60°，

∴∠ADE=180°﹣∠ADB﹣∠CDE=60°，

∴∠AOE=2∠ADE=120°，

∴ 的长度为：=；

故答案为：；

②若∠ADE=90°，则点E与点F重合，此时的长度为： =π；

若∠DAE=90°，则DE是直径，则∠AOE=2∠ADO=60°，此时的长度为： =π；

∵AD不是直径，

∴∠AED≠90°；

综上可得：当的长度是π或π时，△ADE是直角三角形．

故答案为：π或π．