Question

类比、转化、从特殊到一般等思想方法在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整.

原题：如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：＝.

(1)尝试探究：在图1中，由DP∥BQ，得△ADP___△ABQ(填“≌”或“∽”)，则＝___，同理可得＝，从而＝；

(2)类比延伸：如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点，若AB＝AC＝1，则MN的长为_____；

(3)拓展迁移：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点，AB＜AC，求证：MN²＝DM·EN.

     

Answer

（1）∽；；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

（1）可证明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，从而根据等比代换，得出

（2）根据三角形的面积公式求出BC边上的高,根据△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的边长,根据等于高之比，即可求出MN；

（3）可得出△BGD∽△EFC，则DG•EF=CF•BG；又由DG=GF=EF，得,再根据（1），从而得出答案．

（1）如图1，

∵DP∥BQ，

∴△ADP∽△ABQ，

∴

同理可得△ACQ∽△APE，

∴

∴

故答案为：∽；；

（2）如图2所示，

作AQ⊥BC于点Q．

∵BC边上的高

且△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点

∴DE=DG=GF=EF=BG=CF，

∴DE：BC=1：3，

又∵DE∥BC，

∴AD：AB=1：3，

∴

∵DE边上的高为，

∴

∴MN=.

（3）证明：

∵∠B＋∠C＝90°，∠CEF＋∠C＝90°，

∴∠B＝∠CEF.

又∵∠BGD＝∠EFC＝90°，

∴△BGD∽△EFC.

∴，即DG·EF＝CF·BG.

又∵DG＝GF＝EF，∴GF2＝CF·BG.

由(1)易得

∴

∴

∵GF2＝CF·BG，

∴MN2＝DM·EN.