Question

如图，已知抛物线y＝－x²＋bx＋c交y轴于点A(0，4)，交x轴于点B(4，0)，点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线PQ，过点A作AQ⊥PQ于点Q，连接AP.

(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；

(2)点P在抛物线上运动，若△AQP∽△AOC，求点P的坐标.

Answer

（1）y＝﹣x2＋3x＋4，（－1,0）（2）点P的坐标为（，）或（，）

【解析】

（1）把A、B的坐标代入抛物线解析式，即可求得b、c的值，从而得到抛物线的解析式．令y=0，解方程可求得点C的坐标．

（2）由点A、点C的坐标，得到．设P（m， ﹣m2＋3m＋4）．分两种情况讨论：

①当点P在直线AQ下方时，QP＝4－（﹣m2＋3m＋4）＝ m2－3m，

由△AQP∽△AOC得：，即：，解方程即可得到结论．

当时，﹣m2＋3m＋4＝，此时点P的坐标为（）；

②当点P在直线AQ上方时，PQ＝﹣m2＋3m＋4－4＝﹣m2＋3m，

由△AQP∽△AOC得：，即：，解方程即可得到结论．

（1）∵抛物线y＝﹣x2＋bx＋c交y轴于点A（0，4），交x轴于点B（4，0），

∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2＋3x＋4．

令y=0，得：﹣x2＋3x＋4=0，解得：x=4或x=－1，∴点C的坐标为（－1，0）．

（2）∵点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（－1，0），∴．

∵点P的横坐标为m，∴P（m， ﹣m2＋3m＋4）．

①当点P在直线AQ下方时，QP＝4－（﹣m2＋3m＋4）＝ m2－3m，

由△AQP∽△AOC得：，即：，

∴（舍去）或．

当时，﹣m2＋3m＋4＝，此时点P的坐标为（）；

②当点P在直线AQ上方时，PQ＝﹣m2＋3m＋4－4＝﹣m2＋3m，

由△AQP∽△AOC得：，即：，

∴ ＝0（舍去）或＝，此时P点坐标为（）．

综上所述：点P的坐标为（）或（）．