Question

已知x₁、x₂是关于x的方程x²+2x+2k﹣4＝0两个实数根，并且x₁≠x₂．

(1)求实数k的取值范围；

(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值；

(3)若|x₁﹣x₂|＝6，求的值.

Answer

（1）k＜；（2）k的值为2；（3）7.

【解析】

（1）根据判别式的意义得到△=22-4（2k-4）＞0，然后解不等式即可得到k的范围；

（2）先确定整数k的值为1或2，然后把k=1或k=2代入方程得到两个一元二次方程，然后解方程确定方程有整数解的方程即可；

（3）由根与系数的关系可得x1+x2=-2，x1•x2=2k-4，利用完全平方公式得到（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1•x2=4-4（2k-4）=20-8k，根据|x1-x2|=6，那么20-8k=36，求出k=-2，计算出x1•x2=2×（-2）-4=-8，进而求出(x1-x2)2+3x1x2-5的值．

【解析】
（1）依题意得△＝22﹣4（2k﹣4）＞0，

解得：k＜；

（2）因为k＜且k为正整数，

所以k＝l或2，

当k＝l时，方程化为x2+2x﹣2＝0，△＝12，此方程无整数根；

当k＝2时，方程化为x2+2x＝0 解得x1＝0，x2＝﹣2，

故所求k的值为2；

（3）∵x1、x2是关于x的方程x2+2x+2k﹣4＝0两个实数根，

∴x1+x2＝﹣2，x1•x2＝2k﹣4，

∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2＝4﹣4（2k﹣4）＝20﹣8k，

∵|x1﹣x2|＝6，

∴20﹣8k＝36，

∴k＝﹣2，

∴x1•x2＝2×（﹣2）﹣4＝﹣8，

∴