Question

如图， 已知抛物线的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点 ．

（1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标；

（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；

（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求M点的坐标 ．

Answer

（1），点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(8，0)；（2）存在点P，使△PBC的面积最大，最大面积是16，理由见解析；（3）点M的坐标为(4-2，)、(2，6)、(6，4)或(4+2，-)．

【解析】

（1） 由抛物线的对称轴为直线x=3，利用二次函数的性质即可求出a值， 进而可得出抛物线的解析式， 再利用二次函数图象上点的坐标特征， 即可求出点A、B的坐标；

（2） 利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标， 由点B、C的坐标， 利用待定系数法即可求出直线BC的解析式， 假设存在， 设点P的坐标为（x,），过点P作PD//y轴， 交直线BC于点D，则点D的坐标为（x,），PD=- x2+2x，利用三角形的面积公式即可得出三角形PBC的面积关于x的函数关系式， 再利用二次函数的性质即可解决最值问题；

（3） 设点M的坐标为（m,），则点N的坐标为（m,），进而可得出MN，结合MN=3即可得出关于m的含绝对值符号的一元二次方程， 解之即可得出结论 ．

（1）抛物线的对称轴是直线，

，解得：，

抛物线的解析式为．

当时，，

解得：，，

点的坐标为，点的坐标为．

（2） 当时，，

点的坐标为．

设直线的解析式为．

将、代入，

，解得：，

直线的解析式为．

假设存在， 设点的坐标为，过点作轴， 交直线于点，则点的坐标为，如图所示 ．

，

．

，

当时，的面积最大， 最大面积是 16 ．

，

存在点，使的面积最大， 最大面积是 16 ．

（3） 设点的坐标为，则点的坐标为，

．

又，

．

当时， 有，

解得：，，

点的坐标为或；

当或时， 有，

解得：，，

点的坐标为，或，．

综上所述：点的坐标为，、、或，．