Question

将两块三角板按图1摆放，固定三角板ABC，将三角板CDE绕点C按顺时针方向旋转，其中∠A＝45°，∠D＝30°，设旋转角为α，（0°＜a＜80°）

（1）当DE∥AC时（如图2），求α的值；

（2）当DE∥AB时（如图3）．AB与CE相交于点F，求α的值；

（3）当0°＜α＜90°时，连结AE（如图4），直线AB与DE相交于点F，试探究∠1+∠2+∠3的大小是否改变？若不改变，请求出此定值，若改变，请说明理由．

Answer

（1）60°；

（2）105°；

（3）不变，其值为105°．

【解析】

（1）由DE∥AC可得∠DCA＝∠D＝30°，则可求∠α＝∠DCB＝60°；

（2）由DE∥AB可得∠E＝∠AFC＝60°，根据三角形内角和可求∠FCA＝75°即可求∠ACD＝15°，则可求∠α；

（3）根据三角形内角和和外角等于不相邻的两个内角和，列出∠1，∠2，∠3关系式可求∠1+∠2+∠3的值.

（1）∵DE∥AC，

∴∠D＝∠ACD＝30°，

又∵∠BCA＝90°，

∴∠BCD＝∠BCA﹣∠ACD＝60°，即α＝60°；

（2）∵DE∥AB，

∴∠E＝∠CFA＝60°，

又∵∠CFA＝∠B+∠BCE，

∴∠BCE＝15°，

∴∠BCD＝∠ECD+∠BCE＝105°，即α＝105°；

（3）大小不变，其值为105°，

∵∠ACD+∠CAB＝∠D+∠AFD，∠CAB＝45°，∠D＝30°，

∴∠AFD﹣∠ACD＝15°，

又∵∠1+∠2＝∠AFD，∠3＝90°﹣∠ACD，

∴∠1+∠2+∠3＝∠AFD+90°﹣∠ACD＝90°+15°＝105°.