Question

数学课上，老师给出了如下问题：

已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，延长CB到点D，∠DBE=45°，点F是边BC上一点，连结AF，作FE⊥AF，交BE于点 E．

（1）求证：∠CAF=∠DFE；

（2）求证：AF=EF．

经过独立思考后，老师让同学们小组交流．小辉同学说出了对于第二问的想法：“我想通过构造含有边AF和EF的全等三角形，因此我过点E作EG⊥CD于G（如图2所示），如果能证明Rt△ACF和Rt△FGE全等，问题就解决了．但是这两个三角形证不出来相等的边，好像这样作辅助线行不通．”小亮同学说：“既然这样作辅助线证不出来，再考虑有没有其他添加辅助线的方法．”请你顺着小亮同学的思路在图3中继续尝试，并完成（1）、（2）问的证明．

Answer

（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）依据“同角的余角相等”，即可得到∠CAF=∠DFE；

（2）在AC 上截取AG=BF，连结FG，依据ASA即可判定△AGF≌△FBE，进而得出AF=EF．

证明：（1）∵∠C=90°，

∴∠CAF+∠AFC=90°．

∵FE⊥AF，

∴∠DFE+∠AFC=90°．

∴∠CAF=∠DFE．

（2）如图3，在AC 上截取AG=BF，连结FG，

∵AC=BC，

∴AC-AG=BC-BF，即 CG=CF．

∵∠C=90°，

∴∠CGF=∠CFG=45°．

∴∠AGF=180°-∠CGF=135°．

∵∠DBE=45°，

∴∠FBE=180°-∠DBE=135°．

∴∠AGF=∠FBE．

由（1）可得：∠CAF=∠DFE．

∴△AGF≌△FBE（ASA）．

∴AF=EF．