Question

如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC． 

（1）求证：PA是⊙O的切线；

（2）若OH⊥AC，OH＝1，求DH的长．

Answer

(1)见解析;(2) .

【解析】

（1）根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍得到∠AOC的大小，再根据边角关系证明∠PAO是直角，从而证明出PA是⊙O的切线（2）要求DH的长，先根据已知条件证明△CAD是直角三角形，进而可以得到结果.

（1）连接AO

∵ 在⊙O中，∠B＝60° ∴ ∠AOC＝2∠B＝120°

∴ ∠AOD＝180°－∠AOC＝60°

∵OA＝OC ∴∠OCA＝∠OAC＝30°

∵AP＝AC ∴∠APC＝∠ACO＝30°

∴∠PAO＝180°－∠AOD－∠APC＝90°

∵点A在⊙O上 ∴PA是⊙O的切线．

（2）连接AD

∵ 在⊙O中，OH⊥AC

∴AH＝HC

∵ 在⊙O中，DC为直径

∴∠DAC＝90°

∵ AH＝HC，OD＝OC

∴OH是△CAD的中位线

∴AD＝2OH＝2

∵在Rt△OCH中 ∴tan∠OCH＝ ∴HC＝ ∴AH＝CH＝

∵在Rt△HAD中 ∴HD＝＝.