Question

小明在课外学习时遇到这样一个问题：

定义：如果二次函数y＝a₁x²＋b₁x＋c₁（a₁≠0，a₁，b₁，c₁是常数）与y＝a₂x²＋b₂x＋c₂

（a₂≠0，a₂，b₂，c₂是常数）满足a₁＋a₂＝0，b₁＝b₂，c₁＋c₂＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求y＝－2x²＋5x－3函数的“旋转函数”．

小明是这样思考的：由y＝－2x²＋5x－3函数可知，a₁＝－2，b₁＝5，c₁＝－3，根据a₁＋a₂＝0，b₁＝b₂，c₁＋c₂＝0，求出a₂，b₂，c₂就能确定这个函数的“旋转函数”．

请参考小明的方法解决下面的问题：

（1）写出函数y＝－2x²＋5x－3的“旋转函数”；

（2）若函数y₁＝x²＋ x－n与y₂＝－x²－mx－2互为“旋转函数”，求（m＋n）²⁰¹⁹的值；

（3）已知函数y＝(x－2)(x＋3)的图像与轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A₁、B₁、C₁，试证明经过点A₁、B₁、C₁的二次函数与函数y＝ (x－2)(x＋3)互为“旋转函数”．

Answer

（1） y＝2x2＋5x＋3 ;(2)1;(3)见解析.

【解析】

（1）根据题目中的条件直接可以写出函数表达式（2）根据a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0的规律列出等式进行计算即可（3）函数y＝(x－2)(x＋3)的图像与轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求出点的坐标，再求出关于原点的对称点，进而求出经过对称点的二次函数，通过“旋转函数”的规律就可以证明两函数是互为“旋转函数”.

（1） y＝2x2＋5x＋3 ;

.（2）∵y1＝x2＋x－n与y2＝－x2－mx－2互为“旋转函数”，

∴解得

∴（m＋n）2019＝（3－2）2019 ＝1

（3）证明：当x＝0时，y＝ (x－2)(x＋3)，则C（0，－3），

当y＝0时， (x－2)(x＋3)＝0，解得x1=2，x2=－3，则A（2，0），B（－3，0），

∵点A、B、C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，

∴A1（－2，0），B1（3，0），C1（0，3），

可求过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝－ (x＋2)(x－3)＝－x2＋x＋3…8分

y＝ (x－2)(x＋3)＝x2＋x－3

∵a1+a2＝＋(－)＝0，b1=b2=，c1+c2＝3＋(－3)＝0

∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝ (x－2)(x＋3)互为“旋转函数”