Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，⊙O的圆心O在坐标原点，半径OB在x轴正半轴上，点P是⊙O外一点，连接PO，与⊙O交于点A，PC、PD是⊙O的切线，切点分别为点C、点D，AO＝OB=2，∠POB＝120°，点M 坐标为(1，－）．

(1)求证：OP⊥CD；

(2)连结OM，求∠AOM的大小；

(3) 如果点E在x轴上，且△ABE与△AOM相似，求点E的坐标．

Answer

(1)见解析;(2)150°;(3) E(4，0)或(8，0).

【解析】

（1）根据直线与圆相切的性质证明Rt△PDO ≌Rt△PCO，就可以证明OP⊥CD（2）连接OM，利用三角函数值解直角三角形即可（3）根据△ABE与△AOM相似，可以得到边，角的关系，进而得到点的坐标.

（1）连接OD、OC

∵PC、PD是⊙O的切线

∴∠PDO＝∠PCO＝90° ，PC＝PD

∵在Rt△PDO 与Rt△PCO中

∴Rt△PDO ≌Rt△PCO（HL）

∴∠CPO＝∠DPO

∵PC＝PD，∠CPO＝∠DPO

∴OP⊥CD

（2）连接OM，作MH⊥x轴

∵在Rt△HMO中 ∴tan∠HOM＝＝ ∴ ∠HOM＝30°

∴ ∠AOM＝∠HOM＋∠POB＝30°＋120°＝150°

（3）由OA＝OB＝2，∠AOB=120°，得∠ABO=30°

若点E在点B左侧时，不论∠AEB和∠EAB哪个

角等于150°，此时三角形内角和都大于180°

则点E只能在点B右侧

∵∠ABO＝30°∴∠ABE＝∠AOM＝150°

若△ABE与△AOM相似存在两种情况

①△AOM ∽△ABE ∴=

∴ BE＝2

∴E(4，0)

②△AOM ∽△EBA ∴=

∴ BE＝6

∴E(8，0)

综上所述：E(4，0)或(8，0).