Question

如图，已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，CD⊥AB于点D，过B点作AP的垂线交PC于点F．

（1）求证：E是CD的中点；

（2）若FB=FE=2，求⊙O的半径．

Answer

（1）证明见解析；（2）2.

【解析】

（1）延长BF、AC交于点M，则结合切线可得BF=FM，再结合平行线分线段成比例可求得CE=DE；

（2）结合条件可证得PF=AF，在Rt△PFB中，可得到PF和PB的关系，再结合PC是切线利用切割线定理可得到PB和PF的关系，可求得PB的长，则可求得AO的长，即⊙O的半径．

（1）证明：如图，延长BF、AC交于点M，

∵BF⊥AB，∴FB是⊙O的切线，

又CF是⊙O的切线，

∴CF=BF，

∴∠FCB=∠FBC，

又AB为直径，

∴∠BCM=90°，

∴∠CBM+∠M=∠BCF+∠FCM=90°，

∴∠FCM=∠M，

∴CF=MF，

∴BF=MF，

∵CD∥MB，

∴，

∴CE=ED，

即E是CD的中点；

（2）【解析】

∵BF=EF=2=FC=FM，

∴∠FCE=∠FEC=∠AED，

又CD⊥AB，

∴∠FAB+∠AED=∠ECF+∠P，

∴∠FAB=∠P，

∴AF=PF，

∴AB=PB，

设AB=PB=x，PF=y，

则在Rt△PBF中，由勾股定理可得y2=22+x2①，

又由切割线定理可得（y+2）2=x•2x=2x2②，

则可解得x=4，y=6，

∴AO=AB=2．