Question

已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，直线l经过点A（不经过点B或点C），点C关于直线l的对称点为点D，连接BD，CD．

（1）如图1，

①求证：点在以点为圆心，为半径的圆上.

②直接写出∠BDC的度数（用含α的式子表示）为___________.

（2）如图2，当α=60°时，过点D作BD的垂线与直线l交于点E，求证：AE=BD；

图1                         图2

Answer

(1)①证明见解析；②；（2）证明见解析.

【解析】

（1）①连结AD，由线段的垂直平分线的性质得AD=AC，AB=AC，故可得AB=AC=AD，从而查得出结论；

②由圆周角定理可得出结论；

（2）连结CE，易证△CDE和△ABC为等边三角形，从而可证，进而得出结论.

（1）①证明：连接，如图1．

∵点与点关于直线对称，

∴．

∵，

∴．

∴点在以为圆心，为半径的圆上．

②点B,C,D在以A为圆心，AB为半径的圆上，根据弧BC所对的圆周角是圆心角的一半，所以∠BDC=．

（2）证明：连接，如图2．

∵°，

∴°．

∵，

∴°°．

∵点与点关于直线对称，

∴．

∴是等边三角形．

∴，°．

∵，°，

∴是等边三角形．

∴，°．

∵，，

∴．

∴．

∴．