Question

在平面直角坐标系xOy中，点A在直线l上，以A为圆心，OA为半径的圆与y轴的另一个交点为E．给出如下定义：若线段OE，⊙A和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形ABCD是矩形（点A，B，C，D顺时针排列），则称矩形ABCD为直线l的“位置矩形”．

例如，图中的矩形ABCD为直线l的“位置矩形”．

（1）若点A（-1，2），四边形ABCD为直线x=-1的“位置矩形”，则点D的坐标为    ；

（2）若点A（1，2），求直线y=kx+1（k≠0）的“位置矩形”的面积；

（3）若点A（1，-3），直线l的“位置矩形”面积的最大值为        ，此时点D的坐标为    ．

Answer

（1）（-1，0）；（2）；（3）5、（3，-2）或（-1，-2）．

【解析】

（1）只需根据新定义画出图形就可解决问题；

（2）过点A作AF⊥y轴于点F，连接AO、AC，如图2，根据点A（1，2）在直线y=kx+1上可求出k，设直线y=x+1与y轴相交于点G，易求出OG=1，∠FGA=45°，根据勾股定理可求出AG、AB、BC的值，从而可求出“位置矩形”ABCD面积；

（3）设“位置矩形”的一组邻边长分别为x、y，则有x2+y2=10．由（x-y）2=x2+y2-2xy=10-2xy≥0可得xy≤5，当且仅当x=y时，xy取最大值是5，此时“位置矩形”是正方形，然后分点D在第四象限（如图3）和第三象限（如图4）两种情况讨论，就可解决问题

（1）如图1，

点D的坐标为（-1，0）．

故答案为（-1，0）；

（2）过点A作AF⊥y轴于点F，连接AO、AC，如图2．

∵点A的坐标为（1，2），

∴AC=AO=，AF=1，OF=2．

∵点A（1，2）在直线y=kx+1上，

∴k+1=2，

解得k=1．

设直线y=x+1与y轴相交于点G，

当x=0时，y=1，点G（0，1），OG=1，

∴FG=OF-OG=2-1=1=AF，

∴∠FGA=45°，AG=．

在Rt△GAB中，AB=AG•tan45°=．

在Rt△ABC中，BC=．

∴所求“位置矩形”ABCD面积为AB•BC=；

（3）设“位置矩形”的一组邻边长分别为x、y，

则有x2+y2=AC2=AO2=12+32=10．

∵（x-y）2=x2+y2-2xy=10-2xy≥0，

∴xy≤5．

当且仅当x=y时，xy取最大值是5，此时“位置矩形”是正方形． 

①当点D在第四象限时，如图3，

过点A作x轴的平行线，交y轴于点M，交过点D平行于y轴的直线于点N，

∵∠BAM+∠DAN=90°，∠BAM+∠ABM=90°，

∴∠ABM=∠DAN，

在RtAMB和Rt△DNA中，

，

∴RtAMB≌Rt△DNA，

则有AN=BM=2，DN=AM=1，

∴点D的坐标为（1+2，-3+1）即（3，-2）．

②当点D在第三象限时，如图4，

过点A作x轴的平行线，交y轴于点N，交过点D平行于y轴的直线于点M，

同①的方法得：RtANB≌Rt△DMA，

则有DM=AN=1，AM=BN=2，

∴点D的坐标为（1-2，-3+1）即（-1，-2）．  

故答案为：5、（3，-2）或（-1，-2）．