Question

如图，在四边形中，对角线，垂足为点，且，,，则四边形的面积为（   ）

A. 32    B. 36    C. 42    D. 48

Answer

C

【解析】

如图，作∠ADO的平分线DP交AC于P，作PE⊥AD于E．由△POD∽△BOC，得OP:OB=OD:OC，设OP=x，推出OD=2x，由PE⊥AD，PO⊥DO，∠PDE=∠PDO，推出PE=OP，由==，推出，推出AD=2（4-x），在Rt△ADO中，根据AD2=AO2+DO2，可得4（4-x）2=4x2+42，求出x的值，再根据S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=•BD•AO+•BD•OC=•BD（OA+OC）计算即可．

【解析】
如图，作∠ADO的平分线DP交AC于P，作PE⊥AD于E．

∵∠ADO=2∠BCO，
∴∠PDO=∠BCO，
∵∠POD=∠BOC，
∴△POD∽△BOC，

∴OP:OB=OD:OC，设OP=x，

∴

∴OD=2x，
∵PE⊥AD，PO⊥DO，∠PDE=∠PDO，
∴PE=OP，

∴==

∴

∴AD=2（4-x），

在Rt△ADO中，∵AD2=AO2+DO2，

∴4（4-x）2=4x2+42，

∴x=，

∴OD=3，

∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=•BD•AO+•BD•OC=•BD（OA+OC）=×7×12=42．

故选：C.