Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OADB的顶点A，B的坐标分别为A（﹣6，0），B（0，4）．过点C（﹣6，1）的双曲线y=（k≠0）与矩形OADB的边BD交于点E．

（1）填空：OA=　   ，k=　    　，点E的坐标为　 　；

（2）当1≤t≤6时，经过点M（t﹣1，﹣t²+5t﹣）与点N（﹣t﹣3，﹣t²+3t﹣）的直线交y轴于点F，点P是过M，N两点的抛物线y=﹣x²+bx+c的顶点．

①当点P在双曲线y=上时，求证：直线MN与双曲线y=没有公共点；

②当抛物线y=﹣x²+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点，求t的值；

③当点F和点P随着t的变化同时向上运动时，求t的取值范围，并求在运动过程中直线MN在四边形OAEB中扫过的面积．

Answer

（1）6，﹣6，（﹣，4）；（2）①证明见解析；②t=或t=；③.

【解析】（1）根据题意将相关数据代入.

（2）①用t表示直线MN解析式，及b，c，得到P点坐标带入双曲线y=解析式，证明关于t的方程无解即可；

②根据抛物线开口和对称轴，分别讨论抛物线过点B和在BD上时的情况；

③由②中部分结果，用t表示F、P点的纵坐标，求出t的取值范围及直线MN在四边形OAEB中所过的面积．

【解析】
（1）∵A点坐标为（﹣6，0）

∴OA=6

∵过点C（﹣6，1）的双曲线y=

∴k=﹣6

y=4时，x=

∴点E的坐标为（﹣，4）

故答案为：6，﹣6，（﹣，4）

（2）①设直线MN解析式为：y1=k1x+b1

由题意得：

解得,

∵抛物线y=﹣过点M、N,

∴,

解得

∴抛物线解析式为：y=﹣x2﹣x+5t﹣2

∴顶点P坐标为（﹣1，5t﹣）

∵P在双曲线y=﹣上

∴（5t﹣）×（﹣1）=﹣6

∴t=

此时直线MN解析式为：

联立

∴8x2+35x+49=0

∵△=352﹣4×8×48=1225﹣1536＜0

∴直线MN与双曲线y=﹣没有公共点．

②当抛物线过点B，此时抛物线y=﹣x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点

∴4=5t﹣2，得t=

当抛物线在线段DB上，此时抛物线与矩形OADB有且只有三个公共点

∴，得t=

∴t=或t=

③∵点P的坐标为（﹣1，5t﹣）

∴yP=5t﹣

当1≤t≤6时，yP随t的增大而增大

此时，点P在直线x=﹣1上向上运动

∵点F的坐标为（0，﹣）

∴yF=﹣

∴当1≤t≤4时，随者yF随t的增大而增大

此时，随着t的增大，点F在y轴上向上运动

∴1≤t≤4

当t=1时，直线MN：y=x+3与x轴交于点G（﹣3，0），与y轴交于点H（0，3）

当t=4﹣时，直线MN过点A．

当1≤t≤4时，直线MN在四边形AEBO中扫过的面积为

S=.