Question

在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝25，BC＝15．

（1）如图1，折叠△ABC使点A落在AC边上的点D处，折痕交AC、AB分别于Q、H，若S_△ABC＝9S_△DHQ，则HQ＝　   　．

（2）如图2，折叠△ABC使点A落在BC边上的点M处，折痕交AC、AB分别于E、F．若FM∥AC，求证：四边形AEMF是菱形；

（3）在（1）（2）的条件下，线段CQ上是否存在点P，使得△CMP和△HQP相似？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）5；（2）证明见解析；（3）QP的值为或10或．

【解析】

（1）利用勾股定理求出AC，设HQ=x，根据S△ABC=9S△DHQ，构建方程即可解决问题；

（2）想办法证明四边相等即可解决问题；

（3）设AE=EM=FM=AF=4m，则BM=3m，FB=5m，构建方程求出m的值，分两种情形分别求解即可解决问题.

【解析】
（1）如图1中，

在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝25，BC＝15，

∴AC＝＝20，设HQ＝x，

∵HQ∥BC，

∴，

∴AQ＝x，

∵S△ABC＝9S△DHQ，

∴×20×15＝9××x×x，

∴x＝5或﹣5（舍弃），

∴HQ＝5，

故答案为5．

（2）如图2中，

由翻折不变性可知：AE＝EM，AF＝FM，∠AFE＝∠MFE，

∵FM∥AC，

∴∠AEF＝∠MFE，

∴∠AEF＝∠AFE，

∴AE＝AF，

∴AE＝AF＝MF＝ME，

∴四边形AEMF是菱形．

（3）如图3中，

设AE＝EM＝FM＝AF＝4m，则BM＝3m，FB＝5m，

∴4m+5m＝25，

∴m＝，

∴AE＝EM＝，

∴EC＝20﹣＝，

∴CM＝，

∵QG＝5，AQ＝，

∴QC＝，设PQ＝x，

当时，△HQP∽△MCP，

∴，

解得：x＝，

当＝时，△HQP∽△PCM，

∴

解得：x＝10或，

经检验：x＝10或是分式方程的解，且符合题意，

综上所，满足条件长QP的值为或10或．