Question

如图，△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F．

（1）求证：△ADC≌△BDF；

（2）求证：BF＝2AE．

Answer

（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）先判定出△ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AD＝BD，再根据同角的余角相等求出∠CAD＝∠CBE，然后利用“角边角”证明△ADC和△BDF全等；（2）根据全等三角形对应边相等可得BF＝AC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC＝2AE，从而得证．

证明：（1）∵AD⊥BC，∠BAD＝45°，

∴△ABD是等腰直角三角形，

∴AD＝BD，

∵BE⊥AC，AD⊥BC，

∴∠CAD+∠ACD＝90°，

∠CBE+∠ACD＝90°，

∴∠CAD＝∠CBE，

在△ADC和△BDF中，，

∴△ADC≌△BDF（ASA）；

（2）∵△ADC≌△BDF，

∴BF＝AC，

∵AB＝BC，BE⊥AC，

∴AC＝2AE，

∴BF＝2AE．