Question

几何证明:

（1）已知：如图1，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F、G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交．求证：FG＝（AB+BC+AC）．

（2）若BD、CE分别是△ABC的内角平分线，其余条件不变（如图1），线段FG与△ABC的三边又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．

Answer

（1）见解析；（2）线段FG与△ABC三边的数量关系是FG＝（AB+AC﹣BC），理由见解析

【解析】

（1）利用全等三角形的判定定理ASA证得△ABF≌△MBF，然后由全等三角形的对应边相等进一步推出MB＝AB，AF＝MF，同理CN＝AC，AG＝NG，由此可以证明FG为△AMN的中位线，然后利用中位线定理求得FG＝（AB+BC+AC）；（2）延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，与（1）类似可以证出答案．

（1）如图1，∵AF⊥BD，∠ABF＝∠MBF，

∴∠BAF＝∠BMF，

在△ABF和△MBF中，

∵，

∴△ABF≌△MBF（ASA）

∴MB＝AB

∴AF＝MF，

同理：CN＝AC，AG＝NG，

∴FG是△AMN的中位线

∴FG＝MN，

＝（MB+BC+CN），

＝（AB+BC+AC）．

（2）图2中，FG＝（AB+AC﹣BC）

理由如下：如图2，

延长AG、AF，与直线BC相交于M、N，

∵由（1）中证明过程类似证△ABF≌△NBF，

∴NB＝AB，AF＝NF，

同理CM＝AC，AG＝MG

∴FG＝MN，

∴MN＝2FG，

∴BC＝BN+CM﹣MN＝AB+AC﹣2FG，

∴FG＝（AB+AC﹣BC），

答：线段FG与△ABC三边的数量关系是FG＝（AB+AC﹣BC）．