Question

如果关于x的一元二次方程ax²＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法：①方程x²－3x＋2＝0是“倍根方程”；②若(x－2)(mx＋n)＝0是“倍根方程”，则4m²＋5mn＋n²＝0；③若pq＝2，则关于x的方程px²＋3x＋q＝0是“倍根方程”；④若方程ax²＋bx＋c＝0是“倍根方程”，且5a＋b＝0，则方程ax²＋bx＋c＝0的一个根为.其中正确的是____(填序号)．

Answer

①②③

【解析】

①解得方程后即可利用倍根方程的定义进行判断；

②根据（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，且x1=2，x2=-得到=-1，或=-4，从而得到m+n=0，4m+n=0，进而得到4m2+5mn+n2=（4m+n）（m+n）=0正确；

③已知条件pq=2，然后解方程px2+3x+q=0即可得到正确的结论；

④利用“倍根方程”的定义进行解答．

①解方程x2-3x+2=0得：x1=2，x2=1，

∴方程x2-3x+2=0是倍根方程，故①正确；

②∵（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，且x1=2，x2=-，

∴=-1，或=-4，

∴m+n=0，4m+n=0，

∵4m2+5mn+n2=（4m+n）（m+n）=0，故②正确；

③∵pq=2，

解方程px2+3x+q=0得：x1=-，x2=-，

∴x2=2x1，故③正确；

④∵方程ax2+bx+c=0是倍根方程，

∴设x1=2x2，

∴x1+x2=5，

∴x2+2x2=5，

∴x2=，故④错误．

故答案是：①②③．