Question

如图，在△ABC中，PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD＝PE＝PF.求证：∠BPC＝90°＋∠BAC.

Answer

见解析.

【解析】

连接AP，且延长至G，推出点P是△ABC三角平分线的交点，求出∠CAG=∠BAG=∠BAC，∠ACP=∠ACB，∠ABP=∠ABC，求出∠CPG=∠PAC+∠PCA=（∠BAC+∠ACB），∠BPG=∠BAG+∠ABP=（∠BAC+∠ABC），根据∠BPC=∠CPG+∠BPG代入求出即可．

证明：连接AP，且延长至G，

∵PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD=PE=PF，

∴点P是△ABC三角平分线的交点，

∴AP平分∠BAC，

∴∠CAG=∠BAG=∠BAC，

∵CP平分∠ACB，BP平分∠ABC，

∴∠ACP=∠ACB，∠ABP=∠ABC，

∴∠CPG=∠PAC+∠PCA=（∠BAC+∠ACB），

∠BPG=∠BAG+∠ABP=（∠BAC+∠ABC），

∴∠BPC=∠CPG+∠BPG

=1/2（∠BAC+∠ACB）+（∠BAC+∠ABC）

=∠BAC+（180°-∠BAC）

=90°+∠BAC．