Question

已知点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB＝OC.

(1)如图1，若点O在边BC上，求证：∠ABC＝∠ACB；

(2)如图2，若点O在△ABC的内部，则∠ABC＝∠ACB成立吗？并说明理由；

(3)若点O在△ABC的外部，则∠ABC＝∠ACB成立吗？请画图表示．

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】

（1）根据HL证Rt△OEB≌Rt△OFC，根据全等三角形的性质得出∠ABC=∠ACB，即可得出答案；

（2）根据HL证Rt△OEB≌Rt△OFC，根据全等三角形的性质得出∠EBO=∠FCO，即可得出答案；

（3）画出符合条件的两种情况：图③和图④，根据HL证Rt△OEB≌Rt△OFC，根据全等三角形的性质得出∠EBO=∠FCO，即可得出答案．

（1）证明：如图1，

过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，

则∠OEB=∠OFC=90°，

∵点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，

∴OE=OF，

在Rt△OEB和Rt△OFC中，

，

∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），

∴∠ABC=∠ACB；

（2）证明：如图2，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，

则∠OEB=∠OFC=90°，

∵点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，

∴OE=OF，

在Rt△OEB和Rt△OFC中

∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），

∴∠ABO=∠ACO，

∵∠OBC=∠OCB，

∴∠ABC=∠ACB；

（3）【解析】
若O点在△ABC的外部，∠ABC=∠ACB不一定成立，

理由是：①当∠A的平分线和BC的垂直平分线重合时，如图3，

过O作OE⊥AB交AB的延长线于E，OF⊥AC交AC的延长线于F，

则∠OEB=∠OFC=90°，

∵点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，

∴OE=OF，

在Rt△OEB和Rt△OFC中

∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），

∴∠EBO=∠FCO，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∵∠ABC=180°-（∠OBC+∠EBO），∠ACB=180°-（∠OCB+∠FCO），

∴∠ABC=∠ACB；

②当∠A的平分线和BC的垂直平分线不重合时，如图④，

此时∠ABC和∠ACB不相等．