Question

如图，在△ABC中，AC>AB，AD平分∠BAC，点D到点B与点C的距离相等，过点D作DE⊥BC于点E.

(1)求证：BE＝CE；

(2)请直接写出∠ABC，∠ACB，∠ADE三者之间的数量关系；

(3)若∠ACB＝40°，∠ADE＝20°，求∠DCB的度数．

Answer

（1）见解析；（2）∠ABC－∠ACB＝2∠ADE，理由见解析；（3）30°

【解析】

（1）利用等腰三角形底边上三线合一即可证明．
（2）结论：∠ABC-∠ACB=2∠ADE．如图2中，作BN⊥AD于N，交AC于M．证出∠ABN=∠AMN，再由角的和差求得。
（3）如图3中，作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N．首先证明△DBN≌△DCM，推出∠BDN=∠CDM，推出∠CDB=∠MDN，由∠CAB+∠MDN=180°，推出∠CDB+∠CAB=180°，
利用（2）的结论求出∠ABC，∠CAB即可解决问题．

（1）证明：如图1中，

∵DB=DC，DE⊥BC，
∴CE=BE（等腰三角形底边上三线合一）．
（2）结论：∠ABC-∠ACB=2∠ADE．
理由：如图2中，作BN⊥AD于N，交AC于M．

∵∠BAN=∠MAN，∠BAN+∠ABN=90°，∠MAN+∠AMN=90°，
∴∠ABN=∠AMN，
∵∠DOE=∠BON，∠DEO=∠BNO=90°，
∴∠EDA=∠CBM，
∴∠ABC-∠ACB=∠ABM+∠CBM-∠ACB=∠AMB+∠CBM-∠ABC=∠MCB+∠CBM+∠CBM-∠ACB=2∠CBN=2∠EDA．
故答案为∠ABC-∠ACB=2∠ADE
（3）【解析】
如图3中，作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N．

∵∠DAN=∠DAM，DM⊥AC，DN⊥AB，
∴DM=DN，
在Rt△DBN和Rt△DCM中，
，
∴△DBN≌△DCM，
∴∠BDN=∠CDM，
∴∠CDB=∠MDN，
∵∠CAB+∠MDN=180°，
∴∠CDB+∠CAB=180°，
∵∠ACB=40°，∠ADE=20°，∠ABC-∠ACB=2∠ADE
∴∠ABC=80°，
∴∠CAB=180°-80°-40°=60°，
∴∠CDB=120°，
∴∠EDB=∠EDC=60°，
∴∠DCB=90°-∠EDC=30°．