Question

（1）老师在课上给出了这样一道题目：如图（1），等边△ABC边长为2，过AB边上一点P作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且AP=CQ，连接PQ交AC于D，求DE的长.

小明同学经过认真思考后认为，可以通过过点P作平行线构造等边三角形的方法来解决这个问题.请根据小明同学的思路直接写出DE的长.

（2）（类比探究）

老师引导同学继续研究：

①等边△ABC边长为2，当P为BA的延长线上一点时,作PE⊥CA的延长线于点E ，Q为边BC上一点，且AP=CQ，连接PQ交AC于D.请你在图（2）中补全图形并求DE的长.

②已知等边△ABC，当P为AB的延长线上一点时,作PE⊥射线AC于点E， Q为哪一个（①BC边上；②BC的延长线上；③CB的延长线上）一点，且AP=CQ，连接PQ交直线AC于点D，能使得DE的长度保持不变.( 直接写出答案的编号)

   

Answer

（1）DE=1；(2) ①正确补全图形见解析，② ②.

【解析】

（1）过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DEAC即可；

（2）①过点P作PF∥BC交CA的延长线与点F，由平行线的性质得出∠PFA=∠C．

再证明△APF为等边三角形，得到AP=PF．进一步得到AE=FE=．由SAS证明△FDP≌△CDQ，得到FD=CD=，根据线段的和差即可得到结论．

②如图，过P作直线PF∥BC交直线AC于F，通过证明△APF是等边三角形，得到AP=PF．进而得到EF=AE=AF．再由线段的和差即可得出结论．

（1）过P作PF∥BC交AC于F．

∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，∴AP=PF=AF．

∵PE⊥AC，∴AE=EF．

∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ．

在△PFD和△QCD中，∵，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD=CD．

∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD，∴AE+CD=DEAC．

∵AC=2，∴DE=1．

(2)①正确补全图形．

过点P作PF∥BC交CA的延长线与点F，∴∠PFA=∠C．

∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，∴∠PFA=∠PAF=60°，∴△APF为等边三角形，∴AP=PF．

又∵PE⊥CA的延长线于点E，∴AE=FE=．

∵AP=CQ，∴PF=QC．

∵∠FDP=∠CDQ，∴△FDP≌△CDQ，∴FD=CD=，∴DE=DF﹣EF=．

② 答案为②．理由如下：

如图，过P作直线PF∥BC交直线AC于F，∴∠APF=∠ABC=60°．

∵∠A=60°，∴△APF是等边三角形，∴AP=PF．

∵AP=CQ，∴PF=QC．

∵PF∥BC，∴∠F=∠DCQ，∠FPD=∠Q．

在△DPF和△DQC中，∵∠F=∠DCQ，PF=QC，∠FPD=∠Q，∴△DPF≌△DQC，∴CD=DF=CF．

∵△APF是等边三角形，PE⊥AF，∴EF=AE=AF．

∵ED=EF﹣DF，∴ED=AF﹣CF=（AF﹣CF）=AC．

∵AC的长度不变，∴DE的长度保持不变．