Question

在平面直角坐标系xOy中，△为等边三角形，O为坐标原点，点A关于y轴的对称点为D，连接AD，BD，OD，其中AD，BD分别交y轴于点E，P.

（1）如图1，若点B在x轴的负半轴上时，直接写出的度数；

（2）如图2，将△绕点O旋转，且点A始终在第二象限，此时AO与y轴正半轴夹角为，60<<90，依题意补全图形，并求出的度数；（用含的式子表示）

（3）在第（2）问的条件下，用等式表示线段BP，PE，PO之间的数量关系.（直接写出结果）

      

Answer

（1）30°；（2）作图见解析，∠BDO=α-60°；（3）2PE=BP+PO．

【解析】

（1）根据轴对称的性质和等边三角形的性质即可得出结论；

（2）由轴对称的性质和等边三角形的性质得出∠BOD=300°﹣2α．在△BOD中根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结论；

（3）过A作AQ∥EP交DB的延长线于Q，连接AP．由（2）得：∠OBD=∠BDO=α﹣60°．

通过证明△AOP≌△ABQ，得到AP=AQ，OP=QB，∠OAP=∠BAQ，BP+OP=BP+QB=QP．

通过证明△AQP是等边三角形，得出AQ=PQ=AP=BP+OP，∠QAP=60°，即可得到∠PAE=30°，由30°角所对直角边等于斜边的一半即可得到AP=2EP，从而得到结论．

（1）30°．理由如下：

∵A与D关于y轴对称，∴y轴是线段AD的垂直平分线，∴AO=DO，∠AOE=∠DOE．

∵△ABO是等边三角形，∴AB=BO=AO，∠AOB=60°，∴∠AOE=30°，∴∠DOE=30°，∴∠BOD=60°+30°+30°=120°．

∵BO=AO=DO，∴∠BDO=∠OBD=(180°﹣∠BOD)=30°．

（2）正确画出图形．

∵∠AOE=∠DOE=α，∠AOB=60°，∴∠BOD=360°﹣2α﹣60°=300°﹣2α．

∵BO=BD，∴∠OBD=∠ODB，∴∠BDO=(180°﹣∠BOD)=α﹣60°．

（3）2PE=BP+PO．理由如下：

过A作AQ∥EP交DB的延长线于Q，连接AP．由（2）得：∠OBD=∠BDO=α﹣60°．

∵△ABO是等边三角形，∴AB=BO=AO，∠ABO=∠AOB=∠BAO=60°，∴∠ABQ=180°﹣60°﹣∠OBD=120°﹣（α﹣60°）=180°﹣α．

∵∠AOE=α，∴∠AOP=180°﹣α，∴∠AOP=∠ABQ．

∵AQ∥EP，∴∠Q=∠EPD．

∵∠APE=∠DPE，∴∠APO=∠Q．

在△AOP和△ABQ中，∵∠AOP=∠ABQ，∠APO=∠Q，AO=AB，∴△AOP≌△ABQ，∴AP=AQ，OP=QB，∠OAP=∠BAQ，∴BP+OP=BP+QB=QP．

∵∠BAO=∠BAP+∠OAP=60°，∴∠BAP+∠BAQ=∠PAQ=60°．

∵AQ=AP，∴△AQP是等边三角形，∴AQ=PQ=AP=BP+OP．

∵AQ∥EP，∴∠APE=∠QAP=60°．

∵∠AEP=90°，∴∠PAE=30°，∴AP=2EP，∴2EP=BP+OP．