Question

如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连结CE交AD于点F，连结BD交CE于点G，连结BE.下列结论：①CE＝BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB＝∠AEB；④S_{四边形BCDE}＝BD·CE；⑤BC²＋DE²＝BE²＋CD².其中正确的结论有(    )

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

Answer

C

【解析】

根据等腰直角三角形的性质可得AB＝AC，AD＝AE，然后求出∠BAD＝∠CAE，再利用“边角边"证明△ABD和△ACE全等，根据全等三角形对应边相
等可得CE＝BD，判断①正确；根据全等三角形对
应角相等可得∠ABD＝∠ACE，从而求出∠BCG＋∠CBG＝∠ACB＋∠ABC＝90°，再求出∠BGC＝90°，从而得到BD⊥CE，根据四边形的面积判断出
④正确；根据勾股定理表示出，得到⑤正确；再求出AE∥CD时，∠ADC＝90°，判断出②错误；∠AEC与∠BAE不一定相等判断出③错误.

∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB＝AC, AD＝AE,

∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝90°＋∠CAD,
∠CAE＝∠DAE＋∠CAD＝90＋∠CAD
∴∠BAD＝∠CAE
在△ABD和△ACE中,

∴△ABD≌△ACE(SAB),

∴CE＝BD，①正确；
∠ABD＝∠ACF
∠BCG＋∠CBG＝∠ACB＋∠ABC＝90°,
在△BCG中，∠BGC＝180°－(∠BCG＋∠CBG)

＝180°－ 90°＝90°
∴BD⊥CE,

∴四边形ABCD的面积＝故④正确；
由勾股定理，在Rt△BCG中

由勾股定理，在Rt△DEG中，
∴
在Rt△BGE中，
在Rt△CDG中,
∴

∴

故⑤正确；

只有AE∥CD时，∠AEC＝∠DCE，
∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝90°
无法说明AE∥CD，故②错误；
∵△ABD≌△ACE
∴∠ADB＝∠AEC
∵∠AEC与∠AEB相等无法证明，
∴∠ADB＝∠AEB不一定成立，故③错误；
综上所述，正的结论有①④⑤共3个.
故选C.