Question

如图，PA与⊙O相切于点A，过点A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B．连接PB，AO，并延长AO交⊙O于点D，与PB的延长线交于点E．

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）若OC=3，AC=4，求sinE的值．

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）要证明是圆的切线，须证明过切点的半径垂直，所以连接OB，证明OB⊥PE即可．

（2）要求sinE，首先应找出∠E所在的直角三角形，然后利用直角三角函数求解即可．而sinE既可放在直角三角形EAP中，也可放在直角三角形EBO中，所以利用相似三角形的性质求出EP或EO的长即可解决问题

（1）证明：连接OB

∵PO⊥AB，

∴AC=BC，

∴PA=PB,

在△PAO和△PBO中

,

∴△PAO和≌△PBO，

∴∠OBP=∠OAP=90°，

∴PB是⊙O的切线．

（2）连接BD，则BD∥PO，且BD=2OC=6

在Rt△ACO中，OC=3，AC=4

∴AO=5

在Rt△ACO与Rt△PAO中，

∠APO=∠APO，

∠PAO=∠ACO=90°

∴△ACO∼△PAO

∴

∴PO=，PA=

∴PB=PA=

在△EPO与△EBD中，

BD∥PO

∴△EPO∽△EBD

∴，

解得EB=，PE=，

∴sinE=.