Question

如图，已知中，cm，cm，cm．点由出发，以5cm/s的速度沿向点匀速运动，同时点由出发，以4cm/s的速度沿向点匀速运动．连接，设运动时间为（单位：，）．

（1）求点到的距离（用含代数式表示）；

（2）求为何值时，线段将的面积分成的两部分的面积比为3∶13；

（3）当为直角三角形时，求的值．

Answer

（1） （2）1或3 （3）2或

【解析】

（1）先判断出△ABC是直角三角形，进而求出∠A的正弦值，再表示出AP，即可得出结论；

（2）先求出△ABC的面积，进而得出△APQ=78或18建立方程求解即可；

（3）分两种情况，利用相似三角形得出比例式建立方程求解即可得出结论．

（1）在△ABC中，AB=20cm，AC=16cm，BC=12cm，

∴AC2+BC2=162+122=400=202=AB2，

∴△ABC是直角三角形，

∴sinA=，

由运动知，BP=5t，

∴AP=20-5t，

过点P作PD⊥AC于D，

在Rt△APD中，sinA=，

∴DP=3（4-t），

∴点P到AC的距离为3（4-t）；

（2）由运动知AQ=4t，

由（1）知，DP=3（4-t），

∴S△APQ=AQ•DP=6t（4-t），

∵AC=16，BC=12，

∴S△ABC=AC•BC=96，

∵线段PQ将△ABC的面积分成的两部分的面积之比为3：13，

∴S△APQ=S△ABC=18或S△APQ=S△ABC=78，

∴6t（4-t）=18或6t（4-t）=78，

当6t（4-t）=18时，t=1秒或3秒

当6t（4-t）=78时，此方程无实数根，

即：t=1秒或3秒时，线段PQ将△ABC的面积分成的两部分的面积之比为3：13；

（3）当△APQ为直角三角形时，

①∠APQ=90°=∠ACB，

∵∠A=∠A，

∴△APQ∽△ACB，

∴，

∴，

∴t=秒，

②当∠AQP=90°=∠ACB，

∵∠A=∠A，

∴△AQP∽△ACB，

∴，

∴，

∴t=2秒，

即：当△APQ为直角三角形时，t=2秒或秒．