Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，过B,C两点的⊙O交AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交⊙O于点F.连接BF,CF.若∠EDC=135°,CF=,则AE²+BE²的值为     （     ）

A. 8    B. 12    C. 16    D. 20

Answer

C

【解析】

根据圆内接四边形的性质及邻补角的定义可得∠ADE=∠ABC=45°，再证得∠ADE=∠A=45°即可得AE=AD；根据直径所对的圆周角是直角可得∠FCE=90°，在Rt△EFC中求得EF=4；连接BD，可证得BD为为⊙O的直径，在Rt△BDE中根据勾股定理可得,由此即可得结论.

∵∠EDC=135°，

∴∠ADE=45°，∠ABC=180°-∠EDC =180°-135°=45°；

∵∠ACB=90°，

∴∠A=45°，

∴∠ADE=∠A=45°，

∴AE=AD，∠AED=90°；

∵EF 为⊙O的直径，

∴∠FCE=90°，

∵∠ABC=∠EFC=45°，CF=，

∴EF=4；

连接BD，

∵∠AED=90°，

∴∠BED=90°，

∴BD 为⊙O的直径，

∴BD=4；

在Rt△BDE中，,

∴AE2+BE2=16.

故选C.