Question

如图，直线y＝k₁x（x≥0）与双曲线y＝（x＞0）相交于点P（2，4）．已知点A（4，0），B（0，3），连接AB，将Rt△AOB沿OP方向平移，使点O移动到点P，得到△A'PB'．过点A'作A'C∥y轴交双曲线于点C．

（1）求k₁与k₂的值；

（2）求直线PC的表达式；

（3）直接写出线段AB扫过的面积．

Answer

(1)k1＝2，k2＝8；（2）y＝﹣x+；（3）22．

【解析】

（1）把点P（2，4）代入直线y=k1x，把点P（2，4）代入双曲线y=，可得k1与k2的值；

（2）根据平移的性质，求得C（6，），再运用待定系数法，即可得到直线PC的表达式；

（3）延长A'C交x轴于D，过B'作B'E⊥y轴于E，根据△AOB≌△A'PB'，可得线段AB扫过的面积=平行四边形POBB'的面积+平行四边形AOPA'的面积，据此可得线段AB扫过的面积．

（1）把点P（2，4）代入直线y＝k1x，可得4＝2k1，

∴k1＝2，

把点P（2，4）代入双曲线y＝，可得k2＝2×4＝8；

（2）∵A（4，0），B（0，3），

∴AO＝4，BO＝3，

如图，延长A'C交x轴于D，

由平移可得，A'P＝AO＝4，

又∵A'C∥y轴，P（2，4），

∴点C的横坐标为2+4＝6，

当x＝6时，y＝，即C（6，），

设直线PC的解析式为y＝kx+b，

把P（2，4），C（6，）代入可得，解得，

∴直线PC的表达式为y＝﹣x+；

（3）如图，延长A'C交x轴于D，

由平移可得，A'P∥AO，

又∵A'C∥y轴，P（2，4），

∴点A'的纵坐标为4，即A'D＝4，

如图，过B'作B'E⊥y轴于E，

∵PB'∥y轴，P（2，4），

∴点B'的横坐标为2，即B'E＝2，

又∵△AOB≌△A'PB'，

∴线段AB扫过的面积＝平行四边形POBB'的面积+平行四边形AOPA'的面积＝BO×B'E+AO×A'D＝3×2+4×4＝22．