Question

如图，已知直线y＝﹣x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过y＝ax²+bx+c经过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．

（1）若抛物线的解析式为y＝﹣x²+x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．

①求点M、N的坐标；

②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；

（2）当点P的横坐标为2时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer

(1)① M（1，），N（1，3）； ②见解析;(2)见解析.

【解析】

（1）①把二次函数表达式化为顶点式表达式，即可求解；

②不存在．理由如下：设点P 的坐标为（m，-m+4），则D（m，-m2+m+4），PD=-m2+m+4-（-m+4）=-m2+2m，当四边形MNPD为平行四边形，则：m2+2m=，解得：m=1，则：点P（3，1），由N（1，3），则：PN=≠MN，即可求解；

（2）分∠BDP=90°或∠PBD=90°两种情况，求解即可．

【解析】
（1）①y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣1）2+，

∴顶点M的坐标为（1，），

当x＝1时，y＝﹣1+4＝3，

∴点N的坐标为（1，3）；

②不存在．理由如下：

MN＝﹣3＝，

设点P 的坐标为（m，﹣m+4），则D（m，﹣m2+m+4），

PD＝﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，

∵PD∥MN．

∴当PD＝MN时，四边形MNPD为平行四边形，

即﹣m2+2m＝，解得：m＝1或3（m＝1舍去），

∴点P（3，1），由N（1，3），

∴PN＝≠MN，

∴平行四边形MNPD不是菱形，

即：不存在点P，使四边形MNPD为菱形；

（2）①当∠BDP＝90°时，点P（2，2），则四边形BOCD为矩形，

∴D（2，4），又A（4，0），B（0，4），

∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+4；

②当∠PBD＝90°时，△PBD为等腰直角三角形，

则PD＝2xP＝4，

∴D（2，6），又A（4，0），B（0，4），

把A、B、D坐标代入二次函数表达式得：，解得：，

故：二次函数表达式为：y＝﹣x2+3x+4．