Question

下面从认知、延伸、应用三个层面来研究一种几何模型．

（1）如图，已知点E是线段BC上一点，若∠AED＝∠B＝∠C．求证 △ABE∽△ECD．

（2）如图，已知点E、F是线段BC上两点，AE与DF交于点H，若∠AHD＝∠B＝∠C．

求证：△ABE∽△FCD．

（3）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，点D是上一点，连接BD并延长交AC的延长线于点E；连接CD并延长交AB的延长线于点F. 猜想BF、BC、CE三线段的关系，并说明理由．

Answer

(1)见解析;(2)见解析;(3)BC2=BF×CE.

【解析】

(1)利用△ABE的外角关系证出∠A=∠DEC，又∠B=∠C，从而△ABE∽△ECD；

(2)利用△ABE和△EFH的外角关系证出∠A=∠DFC，又∠B=∠C，从而△ABE∽△FCD；

(3)由圆的内接四边形和等边三角形的性质可知∠BDC=∠CBF=∠ECB=120°，由△CDE的外角关系可得∠E=∠DCB，从而可证△FBC∽△BCE，由相似三角形对应边成比例得出=，从而得到BC2=BF×CE.

证明：(1)∵∠AEC是△ABE的外角，

∴∠AEC=∠A＋∠B，

又∵∠AEC=∠AED＋∠DEC，

∴∠A＋∠B=∠AED＋∠DEC，

∵∠B=∠AED，

∴∠A=∠DEC，

又∵∠B=∠C，

∴△ABE∽△ECD；

(2)∵∠AEC是△ABE的外角，

∴∠AEC=∠A＋∠B，

∵∠HEC是△EFH的外角，

∴∠AEC=∠HFE＋∠FHE，

∴∠A＋∠B=∠HFE＋∠FHE，

∵∠B=∠AHD，∠AHD=∠FHE，∴∠B=∠FHE，

∴∠A=∠HFE，

∵∠B=∠C，

∴△ABE∽△FCD；

(3)∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，

∴∠BDC＋∠A=180°，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠ACB=∠ABC=60°，

∴∠BDC=∠CBF=∠ECB=120°，

∵∠FDE是△CDE的外角，

∴∠FDE=∠E＋∠DCE=120°，

∵∠DCB＋∠DCE=120°，

∴∠E=∠DCB，

∴△FBC∽△BCE，

∴=，

∴BC2=BF×CE.

故答案为：(1)见解析;(2)见解析;(3)BC2=BF×CE.