Question

正方形ABCD，CEFG按如图放置，点B，C，E在同一条直线上，点P在BC边上，PA＝PF，且∠APF＝90°，连接AF交CD于点M，有下列结论：①EC＝BP；②AP＝AM；③∠BAP＝∠GFP；④AB²＋CE²＝AF²；⑤S_{正方形ABCD}＋S_{正方形CEFG}＝2S_△APF.其中正确的是(　　)

A. ①②③    B. ①③④    C. ①②④⑤    D. ①③④⑤

Answer

D

【解析】

①由同角的余角相等可证出△EPF≌△BAP，由此即可得出EF=BP，再根据正方形的性质即可得出①成立；②没有满足证明AP=AM的条件；③根据平行线的性质可得出∠GFP=∠EPF，再由∠EPF=∠BAP即可得出③成立；④在Rt△ABP中，利用勾股定理即可得出④成立；⑤结合④即可得出⑤成立．综上即可得出结论．

①∵∠EPF+∠APB=90°，∠APB+∠BAP=90°，

∴∠EPF=∠BAP．

在△EPF和△BAP中，有，

∴△EPF≌△BAP（AAS），

∴EF=BP，

∵四边形CEFG为正方形，

∴EC=EF=BP，即①成立；

②无法证出AP=AM；

③∵FG∥EC，

∴∠GFP=∠EPF，

又∵∠EPF=∠BAP，

∴∠BAP=∠GFP，即③成立；

④由①可知EC=BP，

在Rt△ABP中，AB2+BP2=AP2，

∵PA=PF，且∠APF=90°，

∴△APF为等腰直角三角形，

∴AF2=AP2+EP2=2AP2，

∴AB2+BP2=AB2+CE2=AP2=AF2，即④成立；

⑤由④可知：AB2+CE2=AP2，

∴S正方形ABCD+S正方形CGFE=2S△APF，即⑤成立．

故成立的结论有①③④⑤．

故选D．