Question

如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，点E是BD上任意一点，点O是AC的中点，AF∥EC交EO的延长线于点F，连接AE，CF.

(1)判断四边形AECF是什么四边形，并证明；

(2)若点E是BD的中点，四边形AECF又是什么四边形？说明理由．

Answer

(1)四边形AECF是平行四边形．证明见解析；(2)四边形AECF是菱形．理由见解析.

【解析】

（1）由ASA证明△AOF≌△COE，得出OF=OE，即可得出结论；

（2）由直角三角形斜边上的中线性质得出AE=BD，CE=BD，得出AE=CE，即可得出结论．

(1)四边形AECF是平行四边形．

证明如下：∵点O是AC的中点，

∴AO＝CO.∵AF∥EC，∴∠OAF＝∠OCE.

在△AOF和△COE中，

∵

∴△AOF≌△COE，∴OF＝OE.又∵AO＝OC，

∴四边形AECF是平行四边形．

(2)四边形AECF是菱形．

理由如下：∵∠DAB＝∠BCD＝90°，点E为BD的中点，

∴AE＝BD，CE＝BD，∴AE＝CE.

由(1)知四边形AECF是平行四边形，

∴四边形AECF是菱形．